Malgré ce titre accrocheur, je traiterai ici seulement de quelques aspects de la multiplication et dans le but de montrer qu'en arithmétique, les voies qui conduisent au résultat sont... multiples.

La multiplication graphique

Partant du principe qu'un exemple vaut mieux qu'un long discours, abordons immédiatement le sujet. Soit à calculer le produit : 233  142. Pour chaque chiffre traçons un groupe de lignes comme indiqué sur la Fig 1, chaque ligne représente une unité du rang considéré. Les groupes sont espacés par souci de clarté et disposés en losange de format sensiblement carré, comme indiqué. Il suffit maintenant de faire les totaux de toutes intersections de lignes pour chacune des pseudo-colonnes. Les nombres mis entre parenthèses sont les retenues, lesquelles sont reportées sur la colonne immédiatement à gauche. Le résultat apparait aussitôt. Nous avons ainsi remplacé tout ce qui est multiplications par de simples additions. Si vous êtes réfractaire à la table de multiplication, cette méthode peut vous être très utile.

Et pour le chiffre zéro direz-vous ? (Et vous aurez bien raison de le dire car c'est un peu subtil). Dans ce cas on trace une ligne virtuelle représentée sur la Fig 2 par un pointillé. On procède ensuite comme dans le cas précédent mais en tenant compte du fait que toutes les intersections avec une ligne pointillée valent zéro.

La fameuse table du 9

Dans le cas où vous n'auriez pas opté pour la méthode graphique ci-dessus il est impératif que connaissiez votre table de multiplication. Or la table de multiplication par 9 a la fâcheuse réputation d'être la plus difficile. Si vous avez quelques difficultés de ce côté là, votre cas n'est pas désespéré pour autant, ceci grâce à la méthode digitale que je présente ici, laquelle vous tirera d'affaire en toutes circonstances. Voici comment mettre en oeuvre cette méthode.

Mettez vos deux mains devant vous, la paume tournée vers vous, assignez virtuellement à chaque doigt un chiffre de 1 à 10, de la gauche vers la droite. Voici un exemple pratique, soit à évaluer le produit 9  5. Selon la Fig 3, repliez le doigt numéro 5. Le nombre de doigts levés à gauche du doigt plié donne le chiffre des dizaines, le nombre de doigts levés à droite du doigt plié donne le chiffre des unités. On voit immédiatement que : 9  5 = 45.

Voyons un autre exemple, soit à évaluer le produit 9  6. Selon la Fig 4, repliez le doigt numéro 6. Le nombre de doigts levés à gauche du doigt plié donne le chiffre des dizaines, le nombre de doigts levés à droite du doigt plié donne le chiffre des unités. On voit immédiatement que : 9  6 = 54.
On ne saurait faire plus simple.

La multiplication en chiffres romains

Nous connaissions des systèmes de numération à base 2, 8, 10, 12, 20, 60, etc... Le système de numération romain, lui, est tout à fait particulier, en fait il semble qu'il soit un mix de base 2 et de base 5. Rappelons ci-après les symboles utilisés :

Une des complexités du système réside dans la façon dont on doit combiner ces symboles pour écrire les nombres. Les symboles I, II et III représentent les nombres 1, 2 et 3, mais pour 4, plutôt que d'utiliser IIII, le symbole IV est habituellement utilisé (1). Le I précédent le V indique qu'il doit être soustrait de celui-ci. De façon similaire on écerit IX pour 9, XC pour 90, etc... Tandis que XI et CX représentent respectivement 11 et 110. Ainsi le nombre 1999 qui s'écrirait MDCCCCLXXXXVIIII, est écrit simplement MCMXCIX grâce à cette règle positionnelle soustractive ci-dessus. Ensuite nous appliquons les méthodes usuelles que nous pratiquons dans les autres bases.

Comment allons-nous effectuer des opérations arithmétiques, addition, multiplication, etc... dans ce système ? Nous allons d'abord écrire les nombres sans utiliser la convention positionnelle soustractive vue ci-dessus, puis nous appliquerons les mêmes méthodes que nous utilisons dans les autres bases : une colonne pour les I, une colonne pour les V, une colonne pour les X, etc... La nature mixte de la base du système de numération romain fait que nous avons besoin de deux V pour faire X, de deux L pour faire C, etc... mais de cinq I pour faire V, de cinq X pour faire L, etc... Soit l'addition suivante :

         M  D   CC  L   XXX  V  IIII
            D   CC       XX      III
   
      +        CCC  L   XXX  V    II
        MM  D  CCC  L  XXXX  V  IIII
            M  D    C  L     X  V

On commence par la colonne de droite, on additionne tous les I. Il y en a neuf, donc on écrit IIII et il y a V de retenue. Pour plus de clarté les retenues ont été figurées en rouge, elles sont reportées sur le total de la colonne de même symbole sur la gauche. On continue ainsi, de droite à gauche, jusqu'à la dernière colonne. En effectuant alors la conversion relative à la règle positionnelle soustractive, ce résultat peut être écrit simplement MMDCCCICIX.

Voici la même opération en base 10 :

            1789
             723  
          +  387
            2899

Ces bases (2) étant assimilées, nous pouvons maintenant passer à la multiplication. Soit à multiplier CCLXXVIII par XII.

                 CC  L   XX  V III 
                         X     II  
          M      M  CL   L  XV  VI
         MM  MM  CC  L  XXX       
        MMM     CCC C   XXX  V   I

Le résultat se lit simplement MMMCCCXXXVI. Il s'agit, si on l'exprime en base 10, du produit : 278  12 = 3336. Les retenues ont été figurées en rouge pour faciliter la compréhension, dans la pratique elles restent au niveau du processus mental et on ne les écrit pas, comme ci-dessous :

                 CC  L   XX  V III 
                         X     II  
             M       L       V   I
            MM   CC  L  XXX       
           MMM  CCC     XXX  V   I

Quand cela s'avère nécessaire on réécrit le résultat en applicant la règle positionnelle soustractive. Comme vous voyez tout ça reste très simple et la numération romaine n'est pas aussi barbare que certains le prétendent.

Bon calculs.